【構造力学の基礎】転倒と滑動【第19回】

こんにちは、ゆるカピ（@yurucapi_san）です。

パソコン作業をしていたら、ふとマグカップに手が当たって飲みかけのコーヒーをブチまけた、っていう経験はありませんか。

デスクワークをしている人なら一度や二度どころの話ではないのではないでしょうか。

私もたまにやらかします。普段は気をつけてマグカップとマウス・キーボードを離しているんですが、ちょっと油断したタイミングでやってしまいます...。

でも、軽く手が触れた程度なら中身はこぼれませんよね。いわゆるセーフってやつです。

今回は、この現象を転倒と滑動という力学の観点から解説したいと思います。

マグカップが倒れる仕組み

マグカップの転倒のモデルは、左から押す力$Q$が作用した時の物体の転倒に置き換えて考えることができます。

この時、マグカップ本体と中身を合わせた重量$Mg$が下向きに作用しています。水平力$Q$を押していくと、点$O$を回転中心として回転しながら転倒します。水平力$Q$と重量$Mg$の2つの力によるモーメントのつり合いを考えてみましょう。

物体の幅$L$と高さ$H$とすると、

$$Q \times H - Mg \times \frac{L}{2} = 0 \Leftrightarrow Q = \frac{L}{2H}Mg$$

となります。$L = H$の場合は重量の半分の力が作用すると転倒し始めるということがわかります。$QH$を転倒モーメント、$MgL/2$を安定モーメントと呼ぶこともあります。

ちなみに、倒れないマグカップというのがあるそうです。デスクのそばに飲み物を置いておきたいけどこぼしたくない人には救いの手になるかも...。なんと、あの「月曜から夜ふかし」でも取り上げられていたらしいです。

リンク

気になる人はぜひお試しあれ！

マグカップの転倒は、実は点$O$で滑らない前提の話です。では、どんな時滑るのでしょうか。

最大摩擦力の公式に先ほどの力を当てはめてみると$Q = \mu Mg$となります。滑らないようにするには、摩擦係数$\mu$ができるだけ大きい材料を選ぶか、本体と中身の重量を重くするかしないといけません。

一般的に材料ごとの摩擦係数は次のようになっています（設計便覧より参照）。この数値はあくまで一般的なものなので、実際には実験で求めるのがいいと思います。

鋼材の摩擦係数では以下の実験値を使う場合が多いです。高力ボルトの計算などで使います。

鋼材の種類	表面処理方法	摩擦係数
構造用鋼材	浮き錆を除去した赤錆面ブラスト処理面(50$\mu mRy$以上) 無機ジンクリッチ塗料塗装面（塗膜厚45~75$\mu mRy$程度)	0.45
構造用鋼材	第3種ケレン処理後の黒皮面	0.23
溶融亜鉛めっき構造用鋼材	ブラスト処理面(50$\mu mRy$以上)	0.40
板厚6㎜未満の鋼材	上記のいずれかの処理	0.23